Zeno van Elea: leven en denken in vogelvlucht

Zeno van Elea is een van de scherpzinnigste denkers uit het oude Griekenland. Levend in de tijd van Plato verdedigde hij de filosofie van zijn leermeester Parmenides met zoveel spitsvondigheid dat meer dan 2000 jaar later zijn argumenten nog steeds opnieuw opgevoerd en weerlegd worden. Zijn grootste verdienste is wellicht dat hij als eerste de logische problemen van het begrip oneindigheid onder de aandacht bracht. In dit artikel bespreken we kort zijn leven en de hoofdlijnen uit zijn denken.

Korte levensschets van Zeno van Elea

Van het persoonlijk leven van Zeno van Elea is maar weinig met zekerheid bekend. Hij is waarschijnlijk ergens rond 430 v Chr. geboren en zo'n 60 jaar later gestorven. Het grootste deel van zijn leven zal hij gewoond en gewerkt hebben in het zuiden van Italië, in een plaats die toen Elea heette en tegenwoordig Velia. Van zijn familie is niets meer bekend dan dat zijn vader vermoedelijk Teleutagoras heette.

Zeker is wel dat hij als jonge man studeerde bij de beroemde denker Parmenides. Al snel werd de leermeester een levenslange vriend. Naast zijn filosofisch werk was Zeno hoogstwaarschijnlijk politiek actief, net als zijn Parmenides zelf overigens. Hij schijnt de moed te hebben gehad om in opstand te komen tegen een tiran die toentertijd Elea en omstreken beheerste. Het is zelfs niet onwaarschijnlijk dat hij in de strijd tegen deze tiran gestorven is. Maar niets hiervan is zeker.

In zijn dialoog Parmenides beschrijft Plato een bezoek van Zeno en Parmenides aan het grootse Panathea festival in Athene dat om de vier jaar plaatsvond. Het precieze jaar van dit bezoek is onduidelijk. Plato beschrijft hem als een grote en goed-uitziende man en suggereert dat Zeno en Parmenides geliefden waren, tenminste in de tijd van dit bezoek.

Nog voor het door Plato beschreven bezoek heeft Zeno waarschijnlijk een boek geschreven waarin, althans volgens Proclus, 40 argumenten stonden tegen het bestaan van veelheid en verandering. Als dat boek bestaan heeft, dan is het verloren gegaan. Wel hebben zo'n negen van de 40 argumenten de tijd overleefd, min of meer tenminste, omdat ze besproken zijn door een aantal andere filosofen van die tijd (en later). Met name Aristoteles wijdt de nodige aandacht aan een paar van zijn argumenten. Omdat deze filosofen de argumenten aanhaalden om ze te kunnen verwerpen, is bij lange na niet zeker of het werk van Zeno accuraat geciteerd is.

Zeno en Parmenides

Zeno was, als gezegd, een leerling van Parmenides en een van zijn volgelingen. Het belangrijkste thema in het denken van Parmenides is het primaat van het logisch denken boven de waarneming. Parmenides probeerde als een van de eersten conclusies te trekken uit expliciet geformuleerde eerste principes. Niet de waarneming stond dus bij hem voorop, maar het denken. Als het denken leidt tot conclusies die strijdig zijn met de waarneming, dan is dat jammer voor de waarneming.

De filosofie van Parmenides werd door zijn tijdgenoten vooral aangevochten met de middelen van Parmenides zelf, namelijk door zo logisch mogelijk na te denken over de eerste principes en vervolgens te komen tot andere conclusies dan de meester zelf. De redeneermethode van Parmenides kreeg dus veel navolging al werden zijn conclusies in de regel verworpen. Daarom wordt hij soms ook wel de vader van de (deductieve) wetenschap genoemd. Hoe het ook zij, het is hier dat Zeno zijn levenstaak vond. Hij accepteerde waarschijnlijk zowel de tegen-intuïtieve conclusies als de methode van Parmenides en wilde zijn leer met spitsvondige redeneringen verdedigen tegen de aanvallen van zijn tegenstanders. Dit verklaart ook waarom de redeneringen van Zeno paradoxen worden genoemd. Para is Grieks voor "tegen" of "strijdig met" en doxa betekent "mening" of "geloof". Als er iets over het denken van Zeno (en Parmenides) gezegd mag worden, dan is het dat het inderdaad tegen de gangbare meningen in gaat, waarbij de gangbare mening overigens meestal die van de volgelingen van Pythagoras zijn. Zeno wil aantonen dat verandering, beweging en veelheid niet bestaan omdat ze onlogisch zijn en intrinsieke strijdigheden bevatten. Hoewel we, bijvoorbeeld, beweging zien, kan het toch niet bestaan. Beweging is daarmee een illusie, een artefact van de waarneming.

Parmenides was ook van mening dat de werkelijkheid uiteindelijk "een" is en niet uit meerdere dingen (een veelheid) kan bestaan. Een deel van de paradoxen van Zeno was bedoeld om deze conclusies van zijn leermeester te verdedigen en moest aantonen dat een werkelijkheid die uit veel dingen bestaan ook tot logische tegenstrijdigheden leidt. Verandering, beweging, veelheid, dat waren de begrippen waar Zeno tegen ten strijde trok. Of de argumenten van Zeno overigens gezien moeten worden als een kritiek op de opvattingen van Pythagoras en zijn volgelingen of meer als argumenten die de juistheid van de conclusies van Parmenides aantonen, is een punt waar moderne auteurs verschillend over denken. We laten dat hier in het midden en bespreken kort de hoofdlijnen van Zeno's argumenten.

Zeno's argument tegen de veelheid

Het hier te bespreken argument geeft duidelijk de stijl van Zeno's redeneringen weer. Het is een argument tegen het bestaan van veelheid. Stel, zo zegt Zeno, dat de werkelijkheid een samenstelling is van afzonderlijke eenheden. Dan heeft elk van die eenheden een omvang of geen omvang. Heeft het geen omvang dan zal ook elke samenstelling van eenheden geen omvang hebben. Alles in deze wereld is dan oneindig klein. Als echter de eenheden wel een omvang hebben, dan zal deze omvang en het aantal eenheden de omvang van de totale werkelijkheid bepalen. Maar het aantal eenheden moet volgens Zeno oneindig zijn. Om dat in te zien, beschouw twee van die eenheden. Die twee zijn onderscheiden van elkaar. Ze kunnen alleen als gescheiden worden gezien als er tussen deze eenheden zich een andere bevindt; willen twee dingen van elkaar verschillen dan moet er iets anders tussen zitten. Maar tussen het ding dat twee anderen van elkaar scheidt, moet weer een ander ding zitten. Enzovoort.

Dat heeft twee gevolgen. Ten eerste zijn er oneindig veel eenheden en ten tweede moet als gevolg van de vorige redenering de wereld als geheel oneindig groot zijn. Beide conclusies, een oneindig kleine wereld en een oneindig grote wereld bestaande uit oneindig veel dingen, zijn in de ogen van Zeno (en zijn tijdgenoten) absurd.

Het is niet zo lastig om dit argument met de kennis van nu onderuit te halen. Dat gaan we dan ook niet doen. We merken slechts op dat in zijn aanval op de veelheid de begrippen eindigheid en oneindigheid een grote rol spelen. Zeno wordt, met reden, ook nu nog gezien als de denker die als eerste de subtiele problemen rond deze begrippen onder de aandacht te heeft gebracht. De oneindigheid keert in vrijwel al zijn paradoxen terug. Zeker ook in de paradoxen die zich richten tegen het bestaan van beweging en die zelfs tegenwoordig nog veel denkers aanspreken en zelfs overtuigen.

Zeno's argumenten tegen de beweging

Zeno's argumenten tegen het bestaan van beweging hebben een grote impact gehad op de filosofie in het algemeen en de wiskunde in het bijzonder. Zonder de argumenten zelf in detail te bespreken constateren we dat de gemeenschappelijke kern het idee is dat het verdelen van tijd in momenten en het verdelen van ruimte in punten leidt tot een potentieel oneindige verzameling van eenheden.

Dit blijkt bijvoorbeeld uit een van zijn meest bekende redeneringen. Als een object beweegt van A naar B, dan zal eerst het punt halverwege tussen A en B bereikt moeten worden. Laten we dit punt C noemen. Om C te bereiken moet eerst het punt D bereikt worden dat halverwege tussen A en C in ligt. Dit kan tot in het oneindige doorgaan, met als gevolg dan nooit een ander punt dan A, het vertrekpunt zelf, bereikt kan worden. De crux is dat een verzameling geconstrueerd wordt van punten die eerst nog bereikt moeten worden. Dit leidt tot een oneindige verzameling, maar wel een die nooit helemaal af is. Immers, telkens wanneer er een punt X is dat vanuit A bereikt moet worden, dan wordt er weer een punt, namelijk het punt halverwege tussen A en X, aan die verzameling toegevoegd. Ad infinitum. De verzameling zal steeds groter worden, maar op elk moment bevat het een eindig aantal punten.

Dit proces is volstrekt vergelijkbaar met de constructie van de verzameling van de natuurlijke getallen. Beginnend bij het getal 1, kunnen we in de volgende stap, door er een bij op te tellen, er het getal 2 aan toevoegen. Tellen we daar weer 1 bij op, dan krijgen we het getal 3. Enzovoort. Hoewel op elk moment de verzameling van berekende punten eindig is, zal het proces zelf nooit stoppen. Zulke verzamelingen worden potentieel oneindig genoemd; ze zijn op elk moment eindig en toch uitbreidbaar.

Terugvertaald naar Zeno betekent dit dat het proces van beweging een oneindig proces is (steeds moet er eerst weer een punt aan toegevoegd worden), maar dat de beweging zelf pas kan ontstaan wanneer de verzameling compleet is. Dat is dus nooit het geval. Anders gezegd: in een eindige tijd kunnen er nooit een oneindig aantal stappen gezet worden. Daarmee is volgens Zeno bewezen dat beweging niet kan bestaan.

Dit subtiele spel met de potentiële oneindigheid van verzamelingen, is de kern van Zeno's argumenten tegen de beweging. Het heeft eeuwen geduurd aleer men in de wiskunde vat kreeg op dit spel. Met name Georg Cantor heeft in de negentiende eeuw een solide basis aan het begrip oneindigheid gegeven. De voor dit verhaal belangrijkste stap van Cantor is het simpelweg postuleren van het bestaan van oneindige verzamelingen, dus zonder dat ze eerst stap voor stap geconstrueerd moeten worden. De oneindige verzameling van gehele getallen bijvoorbeeld, wordt tegenwoordig gezien als een bestaand en afgerond geheel, niet als een die geconstrueerd moet worden, want dat lukt toch niet. Zo'n verzameling wordt wel een actueel oneindige verzameling genoemd. Het is gewoon een aanname dat een oneindige verzameling kan bestaan. Bestaan is in deze context een lastig woord. Het is wellicht het beste te vertalen in “leidt niet tot tegenstellingen.”

Actueel oneindige verzamelingen kunnen goed gebruikt worden om bewegingen te beschrijven. Niet om ze te verklaren. Het moderne argument is om 1) voor waar aan te nemen wat we zien, namelijk dat beweging bestaat en 2) een actueel oneindige verzameling gebruiken om getallen toe te kennen aan posities en tijden, dus om de beweging met getallen te beschrijven. Daarmee is het probleem van de beweging uiteraard niet opgelost. Niemand weet waar beweging vandaan komt, maar het kan nu wel beschreven worden en daarmee opgenomen worden in een (formele) theorie van bewegingen. Deze ontwikkelingen vonden echter pas plaats zo'n 2000 jaar nadat Zeno zijn paradoxen had geopenbaard!

Twee andere oneindigheidsargumenten

De oneindigheid speelde ook in andere, wellicht wat minder verfijnde, argumenten van Zeno een rol. Neem het gierstzaad argument. Wanneer men een grote hoeveelheid gierstzaden op de grond laat vallen, dan hoort men dat. Ze maken geluid. Maar laat je een enkel gierstzaadje op de grond vallen, dan hoor je niks. Dus ja, waar komt het geluid dan vandaan als een enkele gierstzaad geen geluid maakt? Dat kan helemaal niet, zo stelde Zeno.

Hoewel dit argument vrij eenvoudig te weerleggen is, geeft het toch aan hoe ook hij ook hier weer werkt met de tegenstelling tussen de eigenschappen van een enkel ding en een hele grote verzameling van dezelfde dingen. Die hele grote verzameling vertoont eigenschappen die het individuele ding niet heeft. Volgens Zeno is dat onmogelijk.

Een ander argument van hetzelfde kaliber is dat tegen het bestaan van veelheid. Het neemt aan dat alles wat er is zich op een plaats in de ruimte bevindt. Maar wat is een plaats? Het moet een ding zijn, anders is het niets. Als het een ding is, moet het zelf weer een plaats innemen. Enzovoort. We zien ook hier een oneindige regressie ontstaan en dat geeft volgens Zeno weer aan dat er niet zoiets is als een veelheid van dingen kan bestaan. Ze kunnen gewoon nergens zijn. Ook dit argument is goed te weerleggen en zal de mens van deze tijd niet snel overtuigen. Maar het laat wel weer zien hoe Zeno speelt met oneindige (of hele grote) verzamelingen die nooit compleet en afgerond kunnen zijn.

Conclusie

De argumenten van Zeno zijn meer dan 2.500 jaar oud. Nog steeds zijn ze terug te vinden in de filosofische literatuur. Sommige van zijn argumenten zijn niet meer overtuigend en komen zelfs wat kinderlijk over. Iedereen weet tegenwoordig waarom een hoop gierstzaden wel geluid maakt en een enkele gerstzaadje niet. Maar weinigen nemen zijn argument dat een plaats ook een ding is echt serieus (alhoewel de moderne relativiteitstheorieën overigens wel degelijk iets anders suggereren).

Maar het argument tegen het bestaan van de beweging daarentegen houdt nog steeds de gemoederen bezig. Natuurlijk bestaat beweging, niemand die dat ontkent, maar waarom het bestaat weet eigenlijk niemand. Zeno probeerde de beweging te construeren en liet tegelijk zien dat die constructie moest falen vanwege de merkwaardige eigenschappen van oneindige verzamelingen.

Zeno's spel met de oneindigheid is, op zijn zachtst gezegd, subtiel. Men heeft zijn argumenten pas in een nieuw licht kunnen bezien nadat de wiskunde, vooral in de persoon van Georg Cantor, zo'n 2000 jaar later met een logisch consistente theorie over de oneindigheid van verzamelingen kwam. Zeno zag problemen die 2000 jaar nodig hebben gehad om opgelost te worden. En dan nog denken velen dat de moderne oplossingen niet volledig zijn.

Als dat geen teken is voor de genialiteit van Zeno, dan bestaat zo'n teken niet.

Lees verder

• De filosofen van Miletus: pioniers van de rede
• Heraclitus van Efeze: leven en denken in vogelvlucht