De miskenning van het toeval

Het herkennen van toeval en het verstandig omgaan met toevallige gebeurtenissen komt de mens niet van nature aanwaaien. We zijn er slecht in. Heel slecht zelfs. Doordat we het toeval niet herkennen, stellen we nogal eens overbodige verklaringen op en hangen we overtuigingen aan die in wezen nergens op gebaseerd zijn. In dit artikel geven we een klein aantal voorbeelden van zaken waarbij aan het toeval niet de juiste, soms grote, rol wordt toegekend.

Toeval en de waarneming van toeval

Mensen zijn zo gewend om aan elke gebeurtenis een oorzaak dan wel een betekenis toe te kennen dat men niet meer de mogelijkheid ziet dat het ook toevallig had kunnen gebeuren. Het is uit veel psychologisch onderzoek inmiddels zonneklaar geworden dat er een welhaast verbluffend onvermogen is om het toeval als zodanig te herkennen. Dat heeft grote gevolgen voor het leven van alledag. Daar waar het toeval niet onderkend wordt, daar zoekt men naar verklaringen. Er worden dan nogal eens theorieën opgesteld en opvattingen gehuldigd waarvoor geen enkele noodzaak bestaat. Het is alsof men antwoorden geeft op vragen die nooit gesteld zijn. Verder, als mensen patronen menen te zien daar waar het toeval heerst, dan kan dat geloof misbruikt worden door hen die de illusie wel doorzien. Juist omdat we slecht met het toeval overweg kunnen, is het van belang dat we ons daarvan bewust zijn en ons niet laten verleiden tot overbodige speculaties, zinloze handelingen en het vallen voor valse verleidingen.

Waar we het niet over gaan hebben

Met het grootste gemak beweren mensen dat toeval niet bestaat. Met evenveel gemak wordt beweerd dat alles louter toeval is. Sommigen geven aan alles wat hen overkomt een betekenis, anderen zien daar uit principe juist weer van af. Rondom het toeval, kortom, wemelt het van de alomvattende claims die noch te bewijzen noch te ontkennen zijn: ze zijn een kwestie van geloof. Geloof valt buiten de orde van dit stuk. Wat men ook gelooft, de praktijk van alle dag is dat we heel vaak niet (goed) weten waarom een gebeurtenis zich voordoet, om van het voorspellen van gebeurtenissen maar niet te spreken. In die zin is het toeval alomtegenwoordig. Of dat uit onwetendheid voortkomt of in de natuur ingebakken zit, laten we hier in het midden.

Statistiek: de wetenschap van het niet-weten

De wetenschap van het toeval, de statistiek dus, leert ons om te gaan met toevalligheden. Niet omdat het, zoals bijvoorbeeld de ethiek, normatief is en ons voorschrijft hoe we met toeval moeten omgaan, maar omdat ze het ontbreken van kennis bestudeert. Ze leidt slechts de gevolgen af van het niet-weten, of tenminste, van het niet-volledig-weten.

Om dit in te zien kunnen we teruggrijpen op een van de meest uitgekauwde voorbeelden: het opgooien van geldstukken. Met geen mogelijkheid valt te voorspellen of het kop of munt wordt. Omdat de kans dat een gebeurtenis met zekerheid optreedt, gelijk gesteld is aan 1 (dat getal is maar een afspraak zonder diepere betekenis) en we met twee gelijkwaardige uitkomsten te maken hebben, is de kans op kop gelijk aan de kans op munt en beide zijn gelijk aan 1/2. Immers, een van beide gebeurtenissen moet optreden en beide zijn even waarschijnlijk. Gooien we een tweede keer met het geldstuk dan moet het zo zijn dat de kans op kop weer gelijk is aan de kans op munt en dus weer 1/2 is. Na twee achtereenvolgende worpen hebben we vier mogelijke uitslagen (kop-kop, kop-munt, munt-kop, munt-munt). Omdat we niets weten over dit proces en niets kunnen voorspellen is de kans op een van deze gebeurtenissen precies gelijk aan 1/4. Maar de kans dat we zowel kop als munt gooien is dus 1/4+1/4=1/2 (kop-munt en munt-kop zijn de twee gebeurtenissen), terwijl de kans op twee keer kop 1/4 is. Uiteraard valt er veel meer te zeggen over de statistiek, dit is slechts het allereerste begin van het allereenvoudigste, maar het geeft aan dat de statistiek niets voorschrijft, enkel en alleen de gevolgen van het niet-weten formaliseert.

Aan de hand van een aantal voorbeelden zal in het vervolg worden aangetoond hoe de manier waarop wij kansen inschatten afwijkt van wat de statistische analyses ons leren.

In de wedstrijd zitten

Omdat vrijwel elke verhandeling over toeval het risico in zich bergt een aantal mensen tegen de schenen te schoppen, beginnen we met een groep die daar waarschijnlijk het beste tegen kan: de sporters. Trainers, sporters en sportcommentatoren hebben het nogal eens over een speler die "in de wedstrijd" zit. Technische fouten worden door zo'n speler nauwelijks gemaakt en elk actie lijkt een maximaal rendement op te leveren. De vraag is nu: is zo'n reeks van successen toeval of is het "in de wedstrijd zitten" echt iets?

De wereldbefaamde psycholoog Amos Tverksy stelde zich deze vraag en besloot samen met twee van zijn studenten, Tom Gilovich and Robert Valone, het aan een gedegen onderzoek te onderwerpen. Wekenlang hebben zij de wedstrijden geanalyseerd van een basketbal team, de Boston Celtics, en gekeken of bepaalde spelers in bepaalde periodes meer scoorden dan verwacht mocht worden. Natuurlijk verschillen de spelers onderling: de een scoort wat gemakkelijker dan de ander, maar dit vertaalt zich in verschillen in gemiddelde prestaties. De kernvraag is of er periodes zijn waarin een speler significant meer scoort dan op basis van dat gemiddelde verwacht mag worden.

Het antwoord was overduidelijk negatief. Nee, er bestaat niet zoiets als in "in de wedstrijd zitten". Elke waargenomen reeks van scores, elke "run" van geslaagde doelpogingen, bleek in niets te verschillen van wat op basis van het toeval verwacht mocht worden. Er is dus geen reden om te goochelen met verklaringen of mysterieuze eigenschappen als "in de wedstrijd zitten."

Zeer veelzeggend waren de reacties op dit resultaat. Een ervan wordt aangehaald door Kahneman in zijn boek "Thinking fast, thinking slow."

"When the celebrated coach of the Boston Celtics, Red Auerbach, heard of [...] his study, he responded, “Who is this guy? So he makes a study. I couldn’t care less.”

De studie en de reacties daarop laten twee dingen zien. Ten eerste is er een sterke neiging van mensen om patronen te zien waar de resultaten alleen op basis van toeval verklaard kunnen worden, en ten tweede, zelfs wanneer het bewijs geleverd is, dan nog blijft men de werking van het toeval ontkennen. Het is alsof je een poedel leert schaken. Het bewijs dat ons intuïtief oordeel er naast zit, wordt hardnekkig genegeerd.

Bommen en gokken

Het is bekend verhaal, maar het is leuk genoeg om nog eens te vertellen. Op een internationale luchthaven werd een reiziger aangetroffen met een bom op in zijn tas. De politie arresteerde hem en vroeg hem om zijn motieven. Met stijgende verbazing hoorden de agenten zijn verklaring aan. Hij verklaarde plechtig dat de kans op twee bommen in een vliegtuig kleiner is dan de kans op slechts 1 bom. Door een bom mee te nemen verkleinde hij volgens hem de kans dat er al een bom in het vliegtuig zat.

Wat niet tot de reiziger doordrong, is dat het meenemen van een bom op geen enkele manier de aanwezigheid van andere bommen beïnvloedt. Van de redenering klopt daarom niets, maar precies dezelfde fout wordt vrijwel dagelijks in de casino's gemaakt. Het heet de "gambler's fallacy" en gaat als volgt. Wanneer aan de casino tafel, zeg, drie maal het getal 7 valt, dan is de neiging groot daarna te gokken op een ander getal. Immers de kans op vier maal een 7 is bijzonder klein. Maar de redenering klopt niet. De casino-tafel heeft geen geheugen. Elke ronde heeft altijd gelijke kansen op hetzelfde getal. Vorige resultaten beïnvloeden de huidige niet. Er is geen enkele reden om niet weer op 7 te wedden. In feite verkleint de gokker zelfs zijn kansen op succes, domweg doordat op hij onjuiste gronden een mogelijkheid verwerpt. Op de keper beschouwd maakt de gokker dezelfde fout als de coach van de Boston Celtics in het vorige voorbeeld. En hij zal even hardnekkig de lessen van de statistiek negeren.

Gekleurde ballen

Wanneer mensen de taak krijgen om rood en blauw gekleurde ballen volstrekt willekeurig over een vlak te verdelen, dan lukt dat maar zelden. Zodra men ergens een redelijk grote cluster van bijvoorbeeld rode ballen ziet, dan wordt dat gezien als niet toevallig, terwijl op basis van toeval juist berekend kan worden dat grotere clusters wel vaak voorkomen. Het toeval produceert meer clusters (of, zoals in het vorige voorbeeld, meer opeenvolgende doelpunten) dan mensen zelf toevallig vinden en dus, zo oordeelt men, kan het echt willekeurige patroon (dat je bijvoorbeeld door een computer laat leggen) geen toeval zijn. Ook hier is er een mismatch tussen wat echt toevallig is en wat mensen toevallig vinden. Het toevallige komt ons als niet toevallig voor.

Beleggers

Kunnen we de vorige voorbeelden nog met een lach afdoen, ernstiger wordt het als het om geld gaat. In het volgende voorbeeld worden mensen gewaardeerd om het geluk dat ze hebben, niet om de vaardigheden waarover ze eventueel beschikken. De psycholoog Kahneman (alweer hij) ging na hoe verstandig beleggers in de praktijk zijn met hun aankopen. Van een aantal beleggers werd jaarlijks hun succes bepaald. Hoe meer ze verdienden hoe hoger ze op een ranglijst stonden. Aan het einde van het jaar kregen ze een (fikse) bonus die afhankelijk was hun plek op die lijst. Als er nu sprake zou zijn van een echte beleggingsvaardigheid dan zouden de lijstjes jaar na jaar ongeveer dezelfde rangorde aangeven. Dat bleek helemaal niet zo te zijn. Er was niet eens sprake van een lichte correlatie tussen de lijsten: er was domweg geen correlatie. Nada! Van een beleggingsvaardigheid mocht dus niet gesproken worden. De lijsten gaven slechts aan hoeveel geluk iemand had. De bonussen die werden uitgekeerd waren nergens op gebaseerd. Het bedrijf verkeerde in de illusie dat het een vaardigheid beloonde. Gezien de omvang van de bonussen een behoorlijk dure illusie. Nodeloos te zeggen dat de beleggers met een flinke bonus zichzelf ook allerlei kwaliteiten toedichten.

Geconfronteerd met de resultaten reageerden de managers van het bedrijf zoals we zo langzamerhand mogen verwachten. De resultaten werden terzijde geschoven. Men verkoos de illusie boven de waarheid. Het volgende citaat van Kahneman vat het onderzoek en de ontvangst ervan op pregnante wijze samen. Het geeft de reactie weer van een van de beleggers nadat hem de resultaten van het onderzoek waren meegedeeld.

“He told me, with a trace of defensiveness, “I have done very well for the firm and no one can take that away from me.” I smiled and said nothing. But I thought, “Well, I took it away from you this morning. If your success was due mostly to chance, how much credit are you entitled to take for it?”

Het belang van kleine scholen

Wat maakt een school goed? Gesteund door een royale subsidie van niemand minder dan Bill Gates, startte men een uitgebreid onderzoek naar de factoren die een school goed maken. Maar liefst 1662 scholen werden in het onderzoek betrokken en beoordeeld op allerhande karakteristieken. Op de top vijftig van deze scholen vond men een oververtegenwoordiging van kleine scholen. Kleine scholen zijn dus goed, was de conclusie. Op basis van deze bevinding steunde Bill Gates een omvangrijk programma om meer kleine scholen in te richten. Soms werden grote scholen zelfs in tweeën gesplitst. De belangrijkste verklaringen die voor deze bevinding gegeven werden, kunt u zelf ook bedenken. Op kleine scholen is er meer aandacht voor individuele leerlingen en dat betaalt zich uit in betere prestaties. Uit die verklaring volgt ook dat men meer aandacht aan de individuele leerlingen moet geven. Dat was dan ook een van de concreet voorgestelde maatregelen.

Het klinkt allemaal zo logisch, maar helaas klopt het van geen kanten. Toen een aantal statistici, waaronder Howard Wainer and Harris Zwerling, het onderzoek nader bekeken, zagen ze al vrij snel de fout. Ze zagen dat er minder kleine scholen dan grote scholen in het onderzoek zaten. Omdat de steekproef van kleine scholen kleiner was, moest verwacht worden dat er meer variatie zit in de scores van de kleine scholen. Dit is een vrij eenvoudige statistische wet: hoe kleiner de steekproeven hoe meer de scores schommelen. Toen men vervolgens weer naar de data keek zag men dat bij de slechtst scorende scholen ook een oververtegenwoordiging was van de kleinere scholen. Op basis van het toeval is dat precies wat je mocht verwachten. Toeval verklaarde de overtegenwoordiging van kleine scholen in zowel in de lijst van de 50 beste als in de lijst van de 50 slechtste scholen.

Dit onderzoek, de verklaringen en de genomen maatregelen laten weer eens zien dat men slecht met het toeval overweg kan. Het laat ook zien wat de gevaren zijn van het verzinnen van overbodige (en oh zo gemakkelijk te vinden) verklaringen. De vrij dure maatregelen waren nergens op gebaseerd. Het werd allemaal nog wat pijnlijker nadat een verdere analyse leerde dat grotere scholen het juist ietsje beter doen.

Munten op een schaakbord

Dit voorbeeld geeft aan dat mensen soms teruggrijpen op bovennatuurlijke krachten om dat wat toevallig is toch van een verklaring te voorzien. Wanneer mensen gevraagd wordt om een munt willekeurig op een van de velden van een schaakbord te leggen, dan zullen er te weinig munten langs de rand worden gelegd. Volgens het menselijk beeld van toeval is een munt aan de rand net iets te toevallig, terwijl de statistiek zich uiteraard van de rand niets aantrekt. Mensen leggen daar dus minder vaak een munt dan op basis van willekeur zou moeten. Ook wordt de munt om vergelijkbare redenen te weinig op het vlak precies in het midden gelegd.

Dit effect geldt ook voor mensen die moeten raden waar een ander de munt neer zal leggen: een standaard truc in veel parapsychologisch onderzoek. Juist door de voorkeur voor sommige velden, zowel bij het leggen van de munt als bij raden waar de munt gelegd wordt, zal het raden beter gaan dan op wanneer mensen in staat zouden zijn geweest om de munten echt willekeurig neer te leggen. Dit effect wordt dan vervolgens "verklaard" door telepathie. Maar daar is natuurlijk geen sprake van. Waar wel sprake van is, is dat mensen de munt niet willekeurig kunnen leggen en ook niet willekeurig kunnen raden.

Homeopathie

Een laatste voorbeeld betreft de homeopathie. Dit is een zeer controversieel onderwerp, uiteraard. We willen hier dan ook alleen de mogelijkheid bespreken dat de aanhangers van de homeopathie slachtoffer zijn van het slecht omgaan met toeval. Dat risico is zeker niet denkbeeldig. Omdat er miljarden besteed worden aan het gebruik van homeopathische middelen, is het een risico met grote consequenties. Zoals gebruikelijk laten sommige onderzoekingen naar het effect van homeopathische middelen een effect zien en andere weer niet. Maar wanneer al deze onderzoeken gezamenlijk beschouwd worden en men er rekening mee houdt dat op basis van toeval de resultaten soms positief en soms negatief kunnen zijn, dan blijkt het effect van homeopathische middelen bijzonder gering en eigenlijk geheel afwezig. Toch blijven mensen dergelijke middelen gebruiken en worden zelfs boos als op de etiketten ervan beweringen verwijderd moeten worden die niet gestaafd zijn door wetenschappelijk onderzoek.

De reden om ze toch te blijven gebruiken is natuurlijk dat velen, soms van anderen, soms uit eigen ervaring, opgemerkt hebben dat na het innemen van een homeopathisch middel de ziekte verdwijnt of vermindert. Dat kan echter gewoon een kwestie van toeval zijn. We weten inmiddels dat we maar al te vaak oorzaken en gevolgen zien daar waar slechts toeval heerst. Deze zeer reële mogelijkheid mag niet onbesproken blijven in de discussie over homeopathie. Het is reëel om te stellen dat de successen van de homeopathische middelen die men op persoonlijk basis constateert louter en alleen een kwestie van toeval zijn.

Denken en bezoekjes

Dan als laatste nog een voorbeeld uit het gewone leven. Het komt nogal eens voor dat iemand op bezoek komt juist op het moment dat aan die persoon gedacht wordt. Het oordeel van veel mensen is nu dat deze samenloop van omstandigheden te toevallig is en dat er dus sprake moet zijn van een soort telepathie. Of iets dergelijks.

Maar wie zegt ons dat zo'n oordeel "te toevallig is?" Wie heeft gewoon eens geteld hoevaak we aan iemand denken zonder dat de betreffende persoon op bezoek komt? En wie gaat in detail na of het bezoek (en het denken eraan) niet ergens, hoe bedekt ook, zijn aangekondigd? Het punt is dat we op zo'n moment werken met een persoonlijke inschatting van de kans op, in dit geval, de combinatie van twee gebeurtenissen. Inmiddels weten we hoe door en door onbetrouwbaar zulke inschattingen zijn en dat betekent dat we erg voorzichtig moeten zijn met het opstellen van verklaringen.

Leermoment

De algemene les is deze. Mensen hebben zo'n slecht beeld van wat toeval is, dat toevallige gebeurtenissen te snel verklaard worden met niet ter zake doende begrippen of niet bestaande, dus verzonnen, ketens van oorzaak en gevolg. De les is ook dat mensen geen toevallige reeksen van gebeurtenissen kunnen maken en als men toch aanneemt dat ze wel toevallig zijn (zoals met het schaakbord voorbeeld) dan concludeert men al snel dat er iets aan de hand is. En dat iets is maar al te vaak van bovennatuurlijke aard.

We moeten derhalve leren om onze intuïtieve oordelen over wat toevallig is te wantrouwen. Het is niet anders. Het is beter om eerst goed na te denken en zelfs te gaan rekenen alvorens aan allerhande gebeurtenissen betekenissen toe te kennen die ze domweg niet hebben.

Lees verder

• De regel van Bayes en de medische diagnostiek
• Regressie naar het gemiddelde