Tijdloze paradoxen

Leerzaam en leuk, niets is paradoxaler dan de paradox zelf. Hieronder een overzicht van een aantal fraaie en tijdloze paradoxen.

Dat klopt niet

Een logische paradox is kortweg gezegd een schijnbaar tegenstrijdige situatie, of een kloppend lijkende redenering die tegen onze intuïtie ingaat. De crux van een logische paradox blijkt vaak een denkfout of verkeerde aanname. Tot zover de vage theorie, laten we wat voorbeelden bekijken.

Grellings Paradox

Deze paradox is afkomstig van de Duitse wiskundige Kurt Grelling en gaat als volgt:

Stel we verdelen alle bijvoeglijke naamwoorden over twee categorieën;

• De autologische; dat zijn de bijvoeglijke naamwoorden die zichzelf beschrijven
• Voorbeelden zijn: kort, Nederlands en pentasyllabisch ('bestaande uit vijf lettergrepen')
• De heterologische'; dat zijn de bijvoeglijke naawoorden die zichzelf niet beschrijven
• Voorbeelden zijn: elektrisch, polygaam en intelligent

Gegeven bepaalde conventies (wanneer is een woord kort?), lijkt het erop dat ieder bijvoeglijk naamwoord in één van de categorieën moet vallen. Het bijvoeglijke naamwoord beschrijft zichzelf, of het beschrijft zichzelf niet.
Vervolgens rijst de paradoxale vraag in welke categorie het woord 'heterologisch' hoort.

Valt 'heterologisch' onder de autologische woorden, dan zou het zichzelf dus moeten beschrijven en dus zichzelf niet moeten beschrijven. Valt 'heterologisch' onder de heterologische woorden, volgt dat het zichzelf niet beschrijft en beschrijft het zichzelf dus niet niet (wel dus). M.a.w. het woord heterologische is slechts autolog.

Verrassingsdood

Een gevangene krijgt van de rechter te horen dat hij als straf zal worden opgehangen. Maar het is een 'verrassingsdood': de executie vindt plaats op een werkdag van de eerstvolgende week, maar hij zal niet weten welke dag dat is (tot het moment dat de beul hem komt halen).

De gevangene keert terug naar zijn cel en begint te peinzen. Plotseling begint hij te glimlachen...."Ik ben veilig", mompelt hij. De man begint zijn redenering: "de executie kan niet op vrijdag zijn, want als ik donderdag nog niet ben opgehangen blijft alleen vrijdag over. De rechter verzekerde mij er echter van dat de executie een verrassing zal zijn. Vrijdag valt dus af. Nu alleen maandag tot en met donderdag in acht nemend, valt ook donderdag af... ben ik woensdag nog levend, blijft alleen donderdag over. Ook geen verrassing dus. En zo verder redenerend vallen ook woensdag, dinsdag en maandag af. Ik zal dus niet opgehangen worden..."

Die week klopt op woensdag de beul aan, tot verrassing van de gevangene..... en zo komt de belofte van de rechter toch uit....

Beetje theorie

Wat hebben we tot nu toe gezien. In de paradox van Grelling was er sprake van zelfreferentie. Iets wat we ook zien in de klassieke Russelparadox (verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten). Zelfreferentie leidt in naïeve verzamelingenleer tot onoplosbare paradoxen. Ook in de 'verrassingsdood' zit zelfreferentie bevat. Er lijkt bovendien nog wel meer ''mis' in deze paradox. Hoe valide is bijvoorbeeld de inductieve redenering van de gevangene dat omdat als hij donderdag nog leeft hij vrijdag wel moet worden opgehangen, alle weekdagen vervolgens afvallen? Niet heel erg, getuige zijn uiteindelijke teloorgang. We gaan verder.

Willem Ruisprobleem

De volgende paradox is slechts een paradox in de zin van dat het sterk tegen de menselijk intuïtie ingaat.

Je bent kandidaat in de 123-show van Willem Ruis. De presentator laat je drie deuren zien: achter één van de deuren staat een gloednieuwe auto en achter de andere twee deuren staan geiten. Je mag een deur uitkiezen en de prijs achter de deur uiteindelijk in ontvangst nemen. Je wijst een deur aan en vervolgens opent Ruis één van de andere deuren en laat een geit zien. Vervolgens vraagt hij aan jou of je nog wilt wisselen van deur. De vraag is of dit voor jou een voordeel, nadeel of geen van beide oplevert.

Veel mensen gaan de eerste keer dat ze dit probleem onder ogen krijgen de mist in, waaronder zelfs een paar grote wiskundigen. Een groot aandeel van hen blijft zelfs, wanneer de oplossing hen wordt aangereikt koppig het tegendeel beweren. Het antwoord is dat het wisselen van deur een voordeel oplevert, het verdubbelt zelfs je winkansen.
Wilt u zelf tot deze bevinding komen, maak dan een schets van de mogelijke beginstanden (geit, geit, auto; geit, auto, geit; etc.) en teken een kansboom.

Soorten paradoxen

De filosoof en wiskundige Willard Quine maakte onderscheid tussen drie soorten paradoxen.

• De paradoxen waarvan de uitkomst asburd lijkt, maar desalniettemin waar is. Een voorbeeld daarvan is het zojuist beschreven Willem Ruisprobleem.
• De paradoxen waarvan de uitkomsten gewoonweg onwaar zijn. Vaak berusten zij op een onjuiste maar bijna onzichtbare denkstap.
• De derde soort paradox betreft paradoxen die bouwen op de problemen binnen ons begrip van waarheid en beschrijving. Zelfreferente paradoxen vallen hier bijvoorbeeld onder.

Later heeft men min of meer een vierde categorie paradoxen benoemd, dit betreft paradoxen gebaseerd op verschillende vormen van logica. In de klassieke en ook de intuïtionistische logica bijvoorbeeld geldt dat men uit een tegenspraak alles kan laten volgens, 'ex falso sequitur quodlibet'. Iets wat voor behoorlijke mooie paradoxen kan zorgen.

Zeno's Schildpad

Een ware klassieker die toch zelfs na de komst van de calculus nog tot verhitte discussies kan leiden is de paradox van Achilles en de schildpad. Achilles en de schildpad houden een hardloopwedstrijd. Omdat Achilles veel sneller is dan de schildpad, wel tien keer zo snel, krijgt de schildpad een voorsprong van tien meter. Zelfs over een afstand van 1000 meter zal Achilles de schildpad nooit inhalen, aldus de schildpad zelf. Heeft Achilles immers de 10 meter achterstand overbrugd, dan heeft de schildpad in die tijd eentiende daarvan afgelegd, hij bevindt zich dus op 11 meter van de startstreep af. Vervolgens wanneer Achilles daar aankomt, staat de schildpad alweer eentiende meter verder. Op die manier blijkt dat Achilles de schildpad nooit in zal halen, hij kan dus maar beter opgeven!

Verkiezingsparadox

De volgende contraintuïtieve situatie is bedacht door Marquis de Condorcet en is een veelgebruikt voorbeeld bij het onderwijzen van speltheorie.

Drie mensen Ap, Bert en Chris maken een voorkeursranglijst van de drie beschikbare kandidaten Xander, Youp en Zack. De lijstjes zien er als volgt uit:

Ap:

1. Xander
2. Youp
3. Zack

Bert:

1. Zack
2. Xander
3. Youp

Chris:

1. Youp
2. Zack
3. Xander

Wanneer nu een groepsstemming komt op basis van 'de meeste stemmen gelden', dan zou een keuze tussen Xander en Youp tot de keuze van Xander leiden. Een keuze tussen Youp en Zack, zou Youp opleveren en een keuze tussen Zack en Xander levert Zack als winnaar. Dus voor de groep staat Xander boven Youp, Youp boven Zack maar Zack boven Xander, iets wat tegen de intuïtie indruist!

Nuttig vermaak

Naast een bron van vermaak en hersengekraak, hebben paradoxen ook bewezen nuttig te zijn. Vaak tonen paradoxen gaten en onduidelijkheden aan in onze taal, natuurkunde, logica en wiskunde. Zo hebben filosofische paradoxen geleid tot de noodzaak van een scherpere definitie van bepaalde natuurkundige theorieën. Paradoxen hebben bijgedragen aan de ontwikkeling van een hele nieuwe verzamelingenleer, een beter begrip van limieten, oneindigheid en inductie.

De laatste zin van dit artikel is trouwens niet waar.